TEORIA GRACELI TERMO-ELETRODINÂMICA QUÂNTICA PARA CAMPOS.

Contribuições de Feynman

É possível considerar que a maior contribuição de Richard Feynman à física foi o desenvolvimento da eletrodinâmica quântica. Entretanto, outro fator bastante relevante na sua contribuição ao estudo e análise de partículas é a criação de seus diagramas, pois a partir deles, a física teve um grande avanço em cálculos que antes não eram possíveis. Os diagramas de Feynman não são apenas uma ferramenta auxiliar para simplificar os cálculos matemáticos na eletrodinâmica quântica, mas também possibilitam uma melhor compreensão dos fenômenos, embora não devam ser interpretados com uma representação do processo físico de fato.^[27]

Feynman introduziu os diagramas em 1948, onde a interação das partículas subatômicas era complexa e difícil de entender, dessa forma seus diagramas forneciam uma visualização mais simples do que por meio de uma fórmula misteriosa e abstrata. De acordo com David Kaiser, "Desde meados do século XX, os físicos teóricos têm recorrido cada vez mais a esta ferramenta para ajudá-los a realizar cálculos críticos. Assim, os diagramas de Feynman revolucionaram quase todos os aspectos da física teórica."^[28]

Interpretação dos diagramas

O diagrama de Feynman é uma representação gráfica usada para descrever todos os fenômenos eletromagnéticos. Foi criada pelo físico norte-americano Richard Feynman no final da década de 1940. O objetivo dos diagramas foi inicialmente simplificar cálculos na eletrodinâmica quântica, em que a interação eletromagnética é descrita como a troca de fótons virtuais entre partículas carregadas. Entretanto, atualmente, os diagramas de Feynman não são usados apenas na EDQ, mas também tendo sido adotados e adaptados por outras áreas da física, como na física do estado sólido para resolução de problemas de muitos corpos, em física nuclear, mecânica estatística e especialmente na cromodinâmica quântica (CDQ).^[29]

Feynman apresentou seus diagramas pela primeira vez em um encontro exclusivo no Pocono Manor Inn, na Pensilvânia, em 1948. Nesse evento, 28 cientistas teóricos se reuniram por alguns dias para discussões acerca de suas áreas de pesquisa, a maioria preocupados com os problemas que a EDQ apresentava na época. Um dos principais problemas era o fato de que os cálculos da EDQ levavam a valores infinitos de grandezas que precisam ser finitas para ter significado físico.^[28] Em um de seus primeiros exemplos, Feynman considerou o problema do espalhamento elétron-elétron. Ele desenhou um diagrama simples no quadro, similar ao que ele reproduziu em seu primeiro artigo sobre as técnicas diagramáticas.^[22]

Na construção dos diagramas de Feynman, as partículas são representadas pelas linhas do diagrama, que podem ser onduladas ou retas, e podendo conter ou não setas indicando seu sentido, dependendo do tipo de partícula. O ponto onde essas linhas se conectam é chamada de vértice, e é nesse momento que há a interação: emitindo ou absorvendo novas partículas, desviando-se umas das outras ou mudando de tipo.

Os principais componentes da apresentação da EDQ de Feynman são três ações básicas. Essas ações são representadas pelos três elementos básicos dos diagramas: uma linha ondulada para o fóton, uma linha reta para o elétron e uma junção de duas linhas retas e uma linha ondulada para um vértice que representa a emissão ou absorção de um fóton por um elétron.^[26]

Emissão de um fóton por um elétron: $e^{-}\to e^{-}+\gamma$
Absorção de um fóton por um elétron: $e^{-}+\gamma \to e^{-}$
Emissão de um fóton por um pósitron: $e^{+}\to e^{+}+\gamma$
Absorção de um fóton por um pósitron: $e^{+}+\gamma \to e^{+}$
Um fóton gerando um elétron e um pósitron: $\gamma \to e^{-}+e^{+}$

Outra característica dos diagramas de Feynman é que linhas que começam e terminam no diagrama são partículas virtuais, que não são observadas em laboratório. As partículas virtuais não precisam ter a mesma massa que sua partícula real correspondente. Cada vértice deve conservar a carga, número bariônico, número leptônico, energia e momento, mas não a massa. A interação básica, portanto, aparece em um diagrama de Feynman como um "vértice", ou seja, uma junção de três linhas, sendo que apenas as linhas que entram e saem do diagrama representam partículas observáveis, que tem massa própria.^[29]

Probabilidades

Cálculo da trajetória da luz representada por Richard Feynman.

De modo análogo à eletrodinâmica clássica, é possível também descrever os principais aspectos dos fenômenos ópticos com base em um princípio semelhante ao de Fermat. No entanto, contrariamente à óptica geométrica, admite-se que o fóton se propaga de um lugar a outro por qualquer caminho concebível e com qualquer velocidade, maior ou menor que a velocidade da luz.^[30]

Essa hipótese é a base da chamada formulação da Integral de Caminho da mecânica quântica, estabelecida por Richard Feynman, em 1948. De acordo com a interpretação probabilística da teoria quântica, a cada um dos caminhos concebíveis para o fóton ir de um lugar a outro, associam-se quantidades complexas, análogas as funções de onda da eletrodinâmica clássica, chamadas amplitudes de probabilidade, de tal modo que a chance de ocorrência de uma dada possibilidade é proporcional ao quadrado do módulo da amplitude correspondente.^[30]

Tanto a velocidade da luz no vácuo, como a propagação retilínea entre dois pontos do espaço, resultam da soma das amplitudes de probabilidades associadas a cada possível caminho. Para pontos tais que a distância entre eles é muito maior que o comprimento de onda da luz, somente caminhos próximos a trajetória retilínea, nos quais a velocidade do fóton é praticamente a velocidade da luz, contribuem construtivamente para a soma das amplitudes. As contribuições de todos os outros caminhos praticamente se cancelam. Ou seja, em primeira aproximação, a luz obedece ao princípio do tempo mínimo de Fermat.^[30]

Elementos dos diagramas

Para calcular a probabilidade de um processo de espalhamento relativístico, é necessário determinar a chamada amplitude de espalhamento invariante de Lorentz, ${\mathcal {M}}$ , que conecta um estado inicial, $\psi _{i}$ , caracterizado por um conjunto de partículas que possuem momentos bem definidos, a um estado final, $\psi _{f}$ , contendo outras partículas (na maioria das vezes diferentes) que também possuem momentos bem definidos.^[31]

Para fazer uso da técnica gráfica criada por Feynman é importante saber que cada diagrama de Feynman representa uma contribuição para ${\mathcal {M}}$ . Isto significa que cada diagrama representa uma função complexa escrita em termos dos momentos externos. Ou seja, os diagramas fornecem um maneira pictórica de representar as contribuições para a amplitude ${\mathcal {M}}$ . Uma vez determinada uma amplitude é possível calcular grandezas física mensuráveis como a seção de choque diferencial,^[32]^[33] assim, o diferencial dessa seção efetiva será uma função do módulo quadrático da amplitude de espalhamento:

$\mathrm {d} \sigma ={\frac {1}{E^{2}}}\,|{\mathcal {M}}|^{2}\mathrm {d} \Omega$

/ $G$ * $\psi ^{*}$ [ $\psi ^{*}$ $T_{\mu \nu }$ $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$

As regras de Feynman que traduzem diretamente um diagrama em uma contribuição de ${\mathcal {M}}$ , correspondem um fator algébrico a cada elemento e o produto desses fatores dá o valor dessa contribuição (a soma das contribuições dá um valor aproximado de ${\mathcal {M}}$ .^[33]

Para a manipulação das fórmulas algébricas, é preciso utilizar o sistema de unidades naturais onde a constante de Planck reduzida ( $\hbar$ ) e a velocidade da luz ( $�$ ) são as unidades, ficando assim: $\hbar =c=1$ .

Dessa forma, as Regras de Feynman para o cálculo $-i{\mathcal {M}}$ na eletrodinâmica quântica será:

Categoria	Spin	Partículas	Fator Multiplicador
Linhas Externas	0	Bóson de Entrada	1
	0	Bóson de Saída	1
	0	Anti-Bóson de Entrada	1
	0	Anti-Bóson de Saída	1
	½	Férmion de Entrada	$�$
	½	Férmion de Sáida	${\bar {u}}$
	½	Anti-Férmion de Entrada	${\bar {v}}$
	½	Anti-Férmion de Saída	$�$
	1	Fóton de Entrada	$\epsilon _{\mu }$
	1	Fóton de Saída	$\epsilon _{\mu }^{*}$
Propagadores (Linhas Internas)	0	Bóson	${\frac {i}{q^{2}-m^{2}}}$
	½	Férmion	${\frac {i(q\!\!\!/+m)}{q^{2}-m^{2}}}$
	1	Partícula sem Massa (Fóton)	${\frac {-ig_{\mu \nu }}{q^{2}}}$
	1	Partícula com Massa (Bóson)	${\frac {-i(g_{\mu \nu }-q_{\mu }q_{\nu }/m^{2})}{q^{2}-m^{2}}}$
Vértice			$-ig_{e}\gamma ^{\mu }$

Onde:

$�$ e $�$ são os espinores de Dirac, com $u(p)$ normalizado: ${\bar {u}}(p)u(p)=2m$ ;
$\epsilon _{\mu }$ é o vetor de polarização circular do fóton;
$�$ é a massa da partícula;
$�$ é a unidade imaginária;
$q\!\!\!/=\gamma ^{\mu }q_{\mu }$ são os quatro momentos $q_{\mu }$ e a matriz de Dirac $\gamma ^{\mu }$ ;
$g_{\mu \nu }$ é a métrica de Minkowski;
$g_{e}$ é a carga do elétron.

Renormalização

A renormalização é uma coleção de técnicas em teoria quântica de campos, teoria estatística de campos e teoria de estruturas geométricas auto semelhantes, que são usadas para tratar infinitos que surgem em quantidades calculadas, alterando os valores dessas quantidades para compensar os efeitos de suas auto interações.^[34]

A renormalização foi desenvolvida pela primeira vez na eletrodinâmica quântica (EDQ) para dar sentido às integrais infinitas na teoria das perturbações. Inicialmente vista como um procedimento provisório suspeito até mesmo por alguns de seus criadores, a renormalização acabou sendo adotada como um mecanismo real, importante e auto consistente de escala em vários campos da física e da matemática. Apesar do seu ceticismo posterior, foi Paul Dirac o pioneiro da renormalização.^[35]^[36]

Por volta dos anos de 1930, métodos consistentes com a invariância de gauge foram procurados para quantificar o campo eletromagnético e formular as bases de uma eletrodinâmica quântica. Deste trabalho surgiu uma auto energia divergente para o elétron que não poderia ser tratada de forma tão delicada quanto a da teoria eletromagnética clássica. Os esforços para livrar a eletrodinâmica quântica dessa quantidade infinita começaram seriamente na linha de desenvolvimento iniciada em 1933, quando Dirac inventou um procedimento, aperfeiçoado em 1934 por Heisenberg, para subtrair termos infinitos que ocorrem, por exemplo, no valor de expectativa do vácuo para a densidade de carga. Enquanto a persistência da auto energia infinita do elétron causava o desencanto de Pauli com a eletrodinâmica quântica, Heisenberg continuou a usar técnicas ousadas para eliminar essa quantidade divergente. Este drama emerge da correspondência Heisenberg-Pauli, que desempenha um papel central no ensaio Frame-setting. Assim como as grandes teorias que foram seus ancestrais, para Dirac, Heisenberg e Pauli a eletrodinâmica quântica totalmente desenvolvida não possuiria quantidades infinitas.^[4]

Na esquerda está uma interação elétron-fóton que determina a carga do elétron em um ponto de renormalização. Enquanto na direita, há interações mais complexas que estão envolvidas em outros pontos.

Também na década de 1930, houve casos em que Heisenberg e Pauli sugeriram que a adesão a procedimentos de limite de correspondência foi a fonte de problemas na eletrodinâmica quântica, como a auto energia divergente do elétron, por exemplo, tomando métodos hamiltonianos clássicos como ponto de partida para os cálculos. Heisenberg sugeriu esquemas alternativos que falharam. Então, em 1943, ele formulou a Teoria da matriz S de maneira análoga à maneira como ele inventou a mecânica quântica em 1925. Nessa formulação, Heisenberg procurou construir uma versão da eletrodinâmica quântica baseada apenas em grandezas mensuráveis. Ele esperava que essa teoria fornecesse pistas sobre como lidar com fenômenos que ocorrem em regiões espaciais mais frágeis do que um "comprimento fundamental".^[4]

Descobriu-se, posteriormente, que nenhum comprimento fundamental era necessário e que todo o aparato técnico e conceitos básicos para uma eletrodinâmica quântica renormalizada já estavam em vigor na década de 30. Como escreveu Freeman J. Dyson, em 1949, a nova eletrodinâmica quântica na qual a matriz S de Heisenberg desempenha um papel central, quando devidamente reformulada: "Não havendo novas ideias ou técnicas, chega-se a uma matriz S da qual as divergências bem conhecidas parecem ter conspirado para se eliminar".^[4]

Equacionamentos

Matematicamente, a eletrodinâmica quântica tem a estrutura da teoria de calibre do grupo abeliano e possui um grupo de simetria de calibre U(1). O campo de medida da interação entre o campo carregado de spin -1/2 é o campo eletromagnético. Assim, usando o sistema de unidade natural como sendo $c=\hbar =\mu _{0}=1$ , o lagrangiano na EDQ que provome^{[necessário esclarecer]} a mediação na interação entre vários elétrons ou pósitrons por meio de fótons é dada por:^[32]^[33]

{\mathcal {L}}=\psi ^{*}(i\gamma ^{\mu }D_{\mu }-m)\psi -{\frac {1}{4}}F_{\mu \nu }F^{\mu \nu }

:/ $G$ * $\psi ^{*}$ [ $\psi ^{*}$ $T_{\mu \nu }$ $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$

$\gamma ^{\mu }$ são as matrizes de Dirac;
$\psi$ é o campo espinor duplo das partículas de spin 1/2 (como o campo elétron-pósitron);
${\bar {\psi }}\equiv \psi ^{\dagger }\gamma ^{0}$ é o adjunto de Dirac;
$D_{\mu }$ é a derivada covariante de calibre;
$�$ é a unidade imaginária;
$�$ é a massa do elétron;
$F_{\mu \nu }=\partial _{\mu }A_{\nu }-\partial _{\nu }A_{\mu }$ é o tensor do campo eletromagnético.

Equação da ação

O lagrangiano EDQ para um campo de spin-1/2 interagindo com o campo eletromagnético em unidades naturais dá origem à ação:^[32]

Ação na EDQ

$S_{\text{QED}}=\int d^{4}x\,\left[-{\frac {1}{4}}F^{\mu \nu }F_{\mu \nu }+{\bar {\psi }}\,(i\gamma ^{\mu }D_{\mu }-m)\,\psi \right]$

/ $G$ * $\psi ^{*}$ [ $\psi ^{*}$ $T_{\mu \nu }$ $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$

Onde:

$D_{\mu }\equiv \partial _{\mu }+ieA_{\mu }+ieB_{\mu }$ $D_{\mu }\equiv \partial _{\mu }+ieA_{\mu }+ieB_{\mu }$ é a derivada covariante de calibre;
- é a constante de acoplamento , igual à carga elétrica do campo bispinor;
- $A_{\mu }$ é o quatro potencial covariante do campo eletromagnético gerado pelo próprio elétron. Também é conhecido como campo de calibre ou $U(1)$ conexão;
- $B_{\mu }$ é o campo externo imposto pela fonte externa.

A expansão da derivada covariante revela uma segunda forma útil do lagrangiano (campo externo $B_{\mu }$ definido como zero para simplificar):

${\mathcal {L}}=-{\frac {1}{4}}F_{\mu \nu }F^{\mu \nu }+{\bar {\psi }}(i\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }-m)\psi -ej^{\mu }A_{\mu }$

$G$

Sendo $j^{\mu }$ o conservado $U(1)$ corrente decorrente do teorema de Noether: $j^{\mu }={\bar {\psi }}\gamma ^{\mu }\psi .$

Expandindo a derivada covariante no lagrangiano é obtida a seguinte expressão:

${\mathcal {L}}=-{\frac {1}{4}}F_{\mu \nu }F^{\mu \nu }+i{\bar {\psi }}\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }\psi -e{\bar {\psi }}\gamma ^{\mu }A_{\mu }\psi -m{\bar {\psi }}\psi$ $=-{\frac {1}{4}}F_{\mu \nu }F^{\mu \nu }+i{\bar {\psi }}\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }\psi -m{\bar {\psi }}\psi -ej^{\mu }A_{\mu }.$

$G$

E pela simplificação, $B_{\mu }$ foi definido como zero. De maneira alternativa, é possível absorver $B_{\mu }$ em um novo campo de medição $A'_{\mu }=A_{\mu }+B_{\mu }$ e renomear o novo campo como $A_{\mu }$ . Dessa forma, a partir deste lagrangiano, as equações de movimento para o campos $\psi$ e $A_{\mu }$ podem ser obtidas.

Equação de movimento para Ψ

Essa equação surge de forma mais direta considerando a equação de Euler-Lagrange para ${\bar {\psi }}$ , pois como o lagrangiano não contém $\partial _{\mu }{\bar {\psi }}$ termos, obtemos imediatamente:

${\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\bar {\psi }}}}=0$

/ $G$ * $\psi ^{*}$ [ $\psi ^{*}$ $T_{\mu \nu }$ $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$

Permitindo, assim, que a equação do movimento para $\psi$ possa ser escrita desta forma:

$(i\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }-m)\psi =e\gamma ^{\mu }A_{\mu }\psi .$

Equação de movimento para Aμ

No equacionamento dessa equação é preciso usar a equação de Euler-Lagrange para o campo $A_{\mu }$ :

$\partial _{\nu }\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\nu }A_{\mu })}}\right)-{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial A_{\mu }}}=0,$

/ $G$ * $\psi ^{*}$ [ $\psi ^{*}$ $T_{\mu \nu }$ $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$

Com as derivadas sendo:

$\partial _{\nu }\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\nu }A_{\mu })}}\right)=\partial _{\nu }\left(\partial ^{\mu }A^{\nu }-\partial ^{\nu }A^{\mu }\right)$

${\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial A_{\mu }}}=-e{\bar {\psi }}\gamma ^{\mu }\psi .$

$G$

E substituindo esses dois termos de volta na equação de Euler-Lagrange trabalhada anteriormente é possível obter:

$\partial _{\mu }F^{\mu \nu }=e{\bar {\psi }}\gamma ^{\nu }\psi$

/ $G$ * $\psi ^{*}$ [ $\psi ^{*}$ $T_{\mu \nu }$ $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$

Que também pode ser escrito em termos de $j^{\mu }$ da seguinte forma:

$\partial _{\mu }F^{\mu \nu }=ej^{\nu }.$

/ $G$ * $\psi ^{*}$ [ $\psi ^{*}$ $T_{\mu \nu }$ $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$

Agora, se a condição de calibre de Lorenz é adotada, pode-se obter:

$\partial _{\mu }A^{\mu }=0,$

E as equações se reduzem a:

$\Box A^{\mu }=ej^{\mu }$ / $G$ * $\psi ^{*}$ [ $\psi ^{*}$ $T_{\mu \nu }$ $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$

Onde:

$\Box$ representa o Operador de d'Alembert.

Assim, é possível alcançar uma equação de onda para o quatro potencial, sendo a versão da eletrodinâmica quântica das equações clássicas de Maxwell no medidor de Lorenz.

MECÂNICA GRACELI GENERALIZADA - QUÂNTICA TENSORIAL DIMENSIONAL RELATIVISTA DE CAMPOS.

MECÃNICA GRACELI GERAL - QTDRC.

$equação Graceli dimensional relativista tensorial quântica de campos$

$\psi ^{*}$

$[$ $\psi ^{*}$ $G$ * $\psi ^{*}$ $G_{\mu \nu }\$ $T_{\mu \nu }$ G $T^{\nu }{}_{\alpha }$ $T_{\mu \nu }$ $/$ $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$ $.$ = $\left|\psi ({\vec {r}},t)\right\rangle$ /

$G_{\mu \nu }\$ $T_{\mu \nu }$ G $T^{\nu }{}_{\alpha }$ $T_{\mu \nu }$ $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$ $.$ = $\left|\psi ({\vec {r}},t)\right\rangle$ +

$+$ $G$ * $\psi ^{*}$ [ $\psi ^{*}$ ${\boldsymbol {\mu }}$ ] $\lambda$ ω ${\mathcal {T}}$ , $\sigma$ , $\psi$ $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$ [x,t] ] =

//////

[

$\psi ^{*}$

$TeoriaInteraçãomediadorMagnitude relativaComportamentoFaixaCromodinâmicaForça nuclear forteGlúon10411/r71,4 × 10-15 mEletrodinâmicaForça eletromagnéticaFóton10391/r2infinitoFlavordinâmicaForça nuclear fracaBósons W e Z10291/r5 até 1/r710-18 mGeometrodinâmicaForça gravitacionalgráviton101/r2infinito$

Teoria	Interação	mediador	Magnitude relativa	Comportamento	Faixa
Cromodinâmica	Força nuclear forte	Glúon	1041	1/r7	1,4 × 10-15 m
Eletrodinâmica	Força eletromagnética	Fóton	1039	1/r2	infinito
Flavordinâmica	Força nuclear fraca	Bósons W e Z	1029	1/r5 até 1/r7	10-18 m
Geometrodinâmica	Força gravitacional	gráviton	10	1/r2	infinito

$G* = OPERADOR DE DIMENSÕES DE GRACELI.$

DIMENSÕES DE GRACELI SÃO TODA FORMA DE TENSORES, ESTRUTURAS, ENERGIAS, ACOPLAMENTOS, , INTERAÇÕES DE CAMPOS E ENERGIAS, DISTRIBUIÇÕES ELETRÔNICAS, ESTADOS FÍSICOS, ESTADOS QUÂNTICOS, ESTADOS FÍSICOS DE ENERGIAS DE GRACELI, E OUTROS.

/ $G$ * $\psi ^{*}$ [ $\psi ^{*}$ $T_{\mu \nu }$ $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$

MECÂNICA GRACELI GENERALIZADA - QUÂNTICA TENSORIAL DIMENSIONAL RELATIVISTA DE INTERAÇÕES DE CAMPOS. EM ;

MECÂNICA GRACELI REPRESENTADA POR TRANSFORMADA.

dd = dd [G] = DERIVADA DE DIMENSÕES DE GRACELI.

- [ $G*$ $\hbar$ $.$ $\psi$

G { f [dd]} ´[d] $\psi ^{*}$ $\hbar$ $\psi$ $f [d] G*$ $T_{\mu \nu }$ $\psi$ $dd [G]$

O ESTADO QUÂNTICO DE GRACELI

- [ $G*$ $\hbar$ $.$ $\psi$ $\left|\psi \right\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\bigg (}\left|\uparrow \downarrow \right\rangle -\left|\downarrow \uparrow \right\rangle {\bigg )},$ ]

$G* = DIMENSÕES DE GRACELI TAMBÉM ESTÁ RELACIONADO COM INTERAÇÕES DE ENERGIAS, QUÂNTICAS, RELATIVÍSTICAS, , E INTERAÇÕES DE CAMPOS.$

o tensor energia-momento $T_{\mu \nu }$ é aquele de um campo eletromagnético,

/ $G$ * $\psi ^{*}$ [ $\psi ^{*}$ $T_{\mu \nu }$ $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$

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